Определение: множеством комплексных чисел С называется декартово произведение множества действительных чисел, то есть пары (а,b), где a,b принадлежат множеству действительных чисел. Теорема: (С,+,*) - поле комплексных чисел. Доказательство: убедимся сначала, что это кольцо. 1)(С,+) - абелева группа, то есть: а) операция + ассоциативна, б) существует нейтральный элемент (0,0), в) для любой пары (a,b) существует единственный противоположный элемент (-а,-b), г) операция + коммутативна. 2) (С,*) - полугруппа, то есть операция * ассоциативна. 3) операция * дистрибутивна относительно операции +. Следовательно (С,+,*) - кольцо.
Теперь покажем, что это поле, то есть, что (С,+,*) является коммутативна кольцом с единицей, отличной от нуля, в котором каждый нулевой элемент обратим. Действительно, единицей будет являться элемент (1,0), а для каждого элемента (а,b) обратным будет (a/(a^2+b^2), -b/(a^2+b^2)). Следовательно (С,+,*) - поле комплексных чисел.